2D Fully Connected Layer：一种无用的对线性全连接层的模仿

2024-08-05 13:08

结论：我用另一种方法实现了pytorch的线性全连接层（torch.nn.Linear）。

与原本相比本质没有任何改变，性能没有提升，使用场景没有得到扩展。白折腾。

轻小说里叫纯白天使，我这叫纯白折腾。

简单说一下，game点是这样：

当线性层接受的数据是二维数组，比如灰度图像时，通常的做法是把数据拉平成一维。比如我们要处理手写数字识别的数据（MNIST），每一个数据是一个28x28的灰度图，类似这样：

MNIST图片

我们创建一个最简单的线性层模型来识别这些数字，模型是这样的：

model_1_linear = nn.Linear(28 * 28, 10).to(device)

那么在训练的时候，我们就需要将维度为28x28的二维数组转变成长度为28 * 28 = 784的一维数组。

for x, y in train_loader:
    x = x.view(-1, 28 * 28).to(device)
    y = y.to(device)

这里batch_size为200。x变换之前是200x28x28，经过x.view(-1, 28 * 28)之后就是200x784。模型的权重参数weight的维度是784x10，二者点乘运算的结果就是我们需要的维度200x10。

这个时候一个idea就出现了：你将二维图像数据拉平，那不是破坏了图像的原始结构了吗？如果你保持二维数据的维度，再搞一个更高维度的权重参数参与计算，会不会更容易体现出像素点之间的空间联系，得到更好的训练效果呢？

于是我就写出了第一版的2D Fully Connected Layer：

class TwoDFC(nn.Module):
    def __init__(self, input_size, output_size):
        super(TwoDFC, self).__init__()
        self.weight = nn.Parameter(torch.randn(1, *input_size, output_size))
        
    def forward(self, x):
        # x.shape == (batch_size, *input_size)
        x = x.unsqueeze(-1)
        product = x * self.weight
        return product.sum(dim=(1, 2))

model_2d_fc = TwoDFC((28, 28), 10).to(device)

计算过程是这样的：数据进来时的维度是200x28x28；经过x.unsqueeze(-1)变成200x28x28x1方便后续计算；然后x与维度为28x28x10的weight进行星号乘法，也就是在28x28的维度上各元素按位相乘，在x10的维度上广播，结果的维度为200x28x28x10；最后，对28x28的维度进行求和，这两个维度消失了，最终就得到了200x10的结果矩阵。

写完我还挺得意的，这么复杂算出来的效果应该比原来一维的线性模型表现更好吧？

然后半夜我从床上坐起来：“不是，我有病吧？”

这不就是一维线性模型吗？计算过程是一毛一样的啊！784个元素分别相乘再求和。

最可气的是我训练了一下，效果比原版的线性层差远了！

第一版

(optimizer: torch.optim.SGD; learning rate: 0.01; training data size: 60000; validation data size: 10000; epochs: 10)

我想既然开始做了，半途而废不好，至少给它升升番。再说既然它和线性层有相同的计算过程，那么效果也不应该差这么多才对。

仔细一看，是我忘了加bias。于是加上成了第二版：

class TwoDFCv2(nn.Module):
    def __init__(self, input_size, output_size):
        super(TwoDFCv2, self).__init__()
        self.weight = nn.Parameter(torch.randn(1, *input_size, output_size))
        self.bias = nn.Parameter(torch.randn(output_size))
        
    def forward(self, x):
        # x.shape == (batch_size, *input_size)
        x = x.unsqueeze(-1)
        product = x * self.weight
        return product.sum(dim=(1, 2)) + self.bias

训练完一看，也没有好很多：

第二版

这时的模型参数量和线性层是完全一样的，训练参数也一样。从曲线上看是初始的时候和线性层差别最大，怀疑是权重参数初始化的问题。看了一下torch.nn.Linear源代码的参数初始化过程，复制粘贴过来，成了第三版：

class TwoDFCv3(nn.Module):
    def __init__(self, input_size, output_size):
        super(TwoDFCv3, self).__init__()
        self.weight = nn.Parameter(torch.randn(1, *input_size, output_size))
        self.bias = nn.Parameter(torch.randn(output_size))
        self.fan_in = np.prod(input_size)
        self.reset_parameters()
    
    def reset_parameters(self):
        a = np.sqrt(5.)
        gain = np.sqrt(2.0 / (1 + a ** 2))
        std = gain / np.sqrt(self.fan_in)
        bound = np.sqrt(3.0) * std
        with torch.no_grad():
            self.weight.uniform_(-bound, bound)
        bound1 = 1 / np.sqrt(self.fan_in)
        with torch.no_grad():
            self.bias.uniform_(-bound1, bound1)
        
    def forward(self, x):
        # x.shape == (batch_size, *input_size)
        x = x.unsqueeze(-1)
        product = x * self.weight
        return product.sum(dim=(1, 2)) + self.bias

很神奇，这回和线性层不相伯仲，不分彼此：

第三版

所以，我证明了：两个参数完全相同、初始化过程一致、计算本质一模一样的模型，使用同一组数据进行同样的训练，结果能够完美地拟合。

（您别挨骂了！）

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